home *** CD-ROM | disk | FTP | other *** search
/ Multimedia Differential Equations / Multimedia Differential Equations.ISO / diff / chapter7.4p < prev    next >
Text File  |  1996-08-13  |  29KB  |  1,192 lines
  1. à 7.4èPower Series Solutions Near a Regular Sïgular Poït
  2.  
  3. äè Classify ê poït about which ê series is ë be
  4.          expåed as Ordïary, Regular Sïgular or Irregular Sïgular
  5.  
  6. â    è Forè xìy»» + (1+x)y» + 3xy = 0èabout x = 0.èAs ê 
  7.     coefficient ç y»» is zero at x = 0, it is NOT an ORDINARY
  8.     poït.èDividïg by xì givesèy»» + [(1+x)/x]y» + [3/x]y = 0
  9.     asèèèèè1+xèèèèèèèèèèè 3
  10.     èèlimèx ─────è= 1èåè limèx║ ───è= 0
  11.     èèx¥0èèèxèèèèèèè x¥0èèèx
  12.     are both fïite, x = 0 is a REGULAR SINGULAR POINT
  13.  
  14. éS    è For ê general, lïear second order differential equation,
  15.  
  16.         P(x)y»» + Q(x)y» + R(x)y = 0,
  17.  
  18.     it is assumed that êre are no common facërs as êy can be
  19.     cancelled.
  20.  
  21.     èèA poït x╠ is called an ORDINARY POINT if P(x╠) ƒ 0.
  22.     If P(x╠) = 0, ên x╠ is called a SINGULAR POINT.
  23.  
  24.     èèWith a differential equation with sïgular poïts, êre
  25.     are usually just a few sïgular poïts,so it is reasonable ë
  26.     ask why it is important ë attempt ë produce a solution at
  27.     a sïgular poït?èIt turns out that, ï many cases, ê 
  28.     most ïterestïg phenomena occur near sïgular poïts.èSuch
  29.     behavior ïcludes large functional values (tendïg ë un-
  30.     bounded solutions) å rapidly oscillatïg functions.
  31.  
  32.     èèThere is a class ç sïgular poïts for which a modified
  33.     power series solution can be obtaïed via a method due ë
  34.     FROBENIUS.èIt can be used when ê poït is a REGULAR
  35.     SINGULAR POINT.èThis means that ê poït x╠ satisfies
  36.  
  37.     1)    P(x╠) = 0
  38.  
  39.     2)    èèèèèèQ(x)
  40.         lim (x-x╠) ────── is fïite
  41.         x¥0èèèè P(x)
  42.  
  43.     3)    èèèèèè R(x)
  44.         lim (x-x╠)ì ────── is fïite
  45.         x¥0èèèèèP(x)
  46.  
  47.     A sïgular poït that does not satisfy eiêr 2) or 3) is
  48.     an IRREGULAR SINGULAR POINT
  49.  
  50.  1    xìy»» + 2xy» + y = 0èabout x = 0
  51.  
  52.     A)    Ordïary
  53.     B)    Regular Sïgular
  54.     C)    Irregular Sïgular
  55.  
  56. ü        The coefficient ç y»», xì is 0 for x = 0 so this
  57.     is not an ORDINARY poït.
  58.  
  59.     èèèèèè 2x
  60.     èè limèx ────è=è2è 
  61.     èè x¥0èè xì
  62.  
  63. è    èèèèèèè 1
  64.     èè limèxì ────è=è1
  65.     èè x¥0èèèx║
  66.  
  67.     Both ç êse limits are fïite so x = 0 is a REGULAR
  68.     SINGULAR POINT
  69.  
  70. ÇèB
  71.  
  72.  2    (xì-1)y»» + (x+2)y» + xy = 0 about x = 0
  73.  
  74.     A)    Ordïary
  75.     B)    Regular Sïgular
  76.     C)    Irregular Sïgular
  77.  
  78. ü    è The coefficït ç y»» isèxì-1.èThis expression evaluated
  79.     at x = 0 is not zero å hence x = 0 is an ORDINARY poït.
  80.  
  81. ÇèA
  82.  
  83.  3     (xì-1)y»» + (x+2)y» + xy = 0 about x = 1
  84.  
  85.     A)    Ordïary
  86.     B)    Regular Sïgular
  87.     C)    Irregular Sïgular
  88.  
  89.  
  90. ü        The coefficient ç y»», xì - 1 is 0 for x = 1 so this
  91.     is not an ORDINARY poït.
  92.  
  93.     èèèèèèèè x+2èèèè
  94.     èè limè(x-1) ────è 
  95.     èè x¥1èèèèxì-1
  96.     èèèèèèèèèèx+2 
  97.     è = limè(x-1) ──────────
  98.     èè x¥1èèèè(x-1)(x+1)
  99. è    èèèèè x+2èèè3
  100.     è = limè─────è= ─── 
  101.     èè x¥1è x+1èèè2
  102.  
  103.     èèèèèèèèè x 
  104.     èè limè(x-1)ì ─────
  105.     èè x¥1èèèèèxì-1
  106. èèèèèèèèèèèèèèèx
  107.     è = limè(x-1)ì ──────────
  108.     èè x¥1èèèè (x-1)(x+1)
  109. èèèèèèèèè(x-1)xèèè(-1)(1)èèèè1
  110.     è = lim ────────è=è───────è=è- ───
  111.     èè x¥1èèx+1èèèèè2èèèèè 2
  112.  
  113.     Both ç êse limits are fïite so x = 1 is a REGULAR
  114.     SINGULAR POINT
  115.  
  116. ÇèB
  117.  
  118.  4    (x-1)ìy»» + 2xy» + (x-1)yè=è0èabout x = 1
  119.  
  120.     A)    Ordïary
  121.     B)    Regular Sïgular
  122.     C)    Irregular Sïgular
  123.  
  124.  
  125. ü        The coefficient ç y»», (x-1)ì is 0 for x = 1 so this
  126.     is not an ORDINARY poït.
  127.  
  128.     èèèèèèèèè2xèèèè
  129.     èè limè(x-1) ──────è 
  130.     èè x¥1èèèè(x-1)ì
  131.     
  132. è    èèèèèè2xè 
  133.     è = limè─────è which is undefïed 
  134.     èè x¥1è x-1è 
  135.     Also
  136.         èèèèèx-1 
  137.     èè limè(x-1)ì ──────
  138.     èè x¥1èèèè (x-1)ì
  139. èèèèèèèèèè 
  140.     è = limèx-1è=è0
  141.     èè x¥1èè 
  142. èèè
  143.     One ç êse limits is fïite but ê oêr does not exits,
  144.     so x = 1 is an IRREGULAR SINGULAR POINT
  145.  
  146. ÇèC
  147.  
  148. äè Solve ê followïg differential equations about a
  149.         regular sïgular poït.è
  150.  
  151. âè2xìy»» + (xì-x)y» + y = 0 about x = 0. Assume a solution ç 
  152.     ê formèΣ a┬xⁿó¡, substitute ïë ê equation å ê
  153.     INDICIAL EQUATION becomesè2mì - 3m + 1 = 0 which has ê
  154.     two solution m = 1/2, 1.èSubstitutïg m = 1/2 ïë ê
  155.     recursion relation gives ê solution 
  156.     xî»ì[ 1 - 1/4 x + 3/80 xì - ∙∙∙] while ê m = 1 solution is
  157.     x[1 - 1/3 x + 1/15 xì - ∙∙∙ ] 
  158.  
  159. éSèThe method used ë solve a lïear, second order differential
  160.     equation NEAR a REGULAR SINGULAR POINT is a combïation ç
  161.     ê methods described ï ê previous two sections.èSection
  162.     7.2 used a power series solution ç ê form
  163.     èèèèè▄
  164.     èèèèèΣèa┬xⁿ
  165.     èèèè n=0
  166.     ë fïd a solution about an ORDINARY POINT.èThe assumed
  167.     solution was differentiated å was substituted ïë ê
  168.     differential equation.èThe RECURSION RELATION was determïed 
  169.     å subsequently ê coefficients a┬ were found ï terms ç
  170.     a╙ å a¬.    
  171.     
  172.     èèIn Section 7.3, ê EULER type differential equation,
  173.     which has x = 0 as a REGULAR SINGULAR POINT, assumed a 
  174.     solution ç ê formèx¡èwhere m can be any real number.
  175.     Differentiatïg ê assumed solution å substitutïg it 
  176.     ïë ê differential equation produces a quadratic equation
  177.     for m.èThere are three distïct classes ç solutions ë ê
  178.     Euler type differential equation based on ê three distïct
  179.     types ç solutions ë a quadratic equation
  180.         1)èèdistïct real roots
  181.         2)èèrepeated real roots
  182.         3)èècomplex conjugate roots
  183.  
  184.     èèThe solution ç a lïear, second order differential 
  185.     equation about a regular sïgular poït is assumed ë be ç
  186.     ê form
  187.         èèèè ▄èèèèèè▄
  188.         y =èx¡èΣèa┬xⁿè =èΣèa┬xⁿó¡
  189.         èèèèn=0èèèèèn=0
  190.  
  191.     where m can be an arbitrary real number, not just an ïteger.
  192.  
  193.     èèDifferentiation yields
  194.         èèè▄
  195.         y» =èΣè(n+m)a┬xⁿó¡úî
  196.         èè n=0
  197.  
  198.         èèè ▄
  199.         y»» =èΣè(n+m)(n+m-1)a┬xⁿó¡úì
  200.         èèèn=0
  201.  
  202.     èèEverythïg is substituted ïë ê differential equation
  203.  
  204.         P(x)y»» + Q(x)y» + R(x)yè=è0
  205.  
  206.     èèForè 2xìy»» + (xì-x)y» + y = 0èabout x = 0è
  207.     èèèè ▄èèèèèèèèèèèèèèèèè ▄
  208.     èè2xìèΣè(n+m)(n+m-1)a┬xⁿó¡úìè+è(xì-x)èΣ (n+m)a┬xⁿó¡úî
  209.     èèèèn=0èèèèèèèèèèèèèèèè n=0
  210.     èèèèèèèè ▄
  211.     èèèèèèè+èΣèa┬xⁿó¡è=è0
  212.     èèèèèèèèn=0
  213.  
  214.     orè ▄èèèèèèèèèèèèè▄
  215.     èè Σè2(n+m)(n+m-1)a┬xⁿó¡è+èΣè(n+m)a┬xⁿó¡óî
  216.     èèn=0èèèèèèèèèèèèn=0
  217.     èèèè ▄èèèèèèèèè▄
  218.     èèè-èΣè(n+m)a┬xⁿó¡è+èΣèa┬xⁿó¡è=è0
  219.     èèèèn=0èèèèèèèèn=0
  220.  
  221.     As ê second sum's exponent is different from ê rest, it
  222.     will be re-ïdexed so that all exponents are ê same.
  223.  
  224.     èè ▄èèèèèèèèèèèèè▄
  225.     èè Σè2(n+m)(n+m-1)a┬xⁿó¡è+èΣè(n+m-1)a┬▀¬xⁿó¡
  226.     èèn=0èèèèèèèèèèèèn=1
  227.     èèèè ▄èèèèèèèèè▄
  228.     èèè-èΣè(n+m)a┬xⁿó¡è+èΣèa┬xⁿó¡è=è0
  229.     èèèèn=0èèèèèèèèn=0
  230.  
  231.     As ê second sum starts at n = 1 while ê oêrs start at
  232.     n = 0, ê first term will be isolated å ê remaïïg 
  233.     terms combïed ïë one sum
  234.  
  235.      0è=è[ 2m(m-1) - m + 1 ] a╠x¡
  236.     è ▄
  237.     +èΣè{ 2(n+m)(n+m-1)a┬ + (n+m-1)a┬▀¬ - (n+m)a┬ + a┬ }xⁿó¡
  238.     èn=1
  239.  
  240.     è For a differential equation ë have a non-trivial solution,
  241.     ê coefficient ç a╠x¡ must be zero.èSettïg it ë zero
  242.     yields ê INDICIAL EQUATION
  243.  
  244.         2m(m-1) - m + 1è=è0
  245.  
  246.     Solvïg ê ïdicial equation which will be quadratic ï m 
  247.     will produce 2 roots which are called ê EXPONENTS OF THE
  248.     SINGULARITY.èThese values determïe ê behavior ç ê
  249.     solution near ê poït ç sïgularity.
  250.  
  251.     è As usual with quadratic equations, êre are three cases
  252.     as ë ê types ç solutions produced.èThese, however, are
  253.     slightly different than ê usual classifications.
  254.  
  255.     CASE I is for DISTINCT ROOTS ç ê ïdicial equation that
  256.     DO NOT DIFFER BY AN INTEGER.èSay êse roots are l å g.
  257.     Reconsider
  258.  
  259.      0è=è[ 2m(m-1) - m + 1 ] a╠x¡
  260.     è ▄
  261.     +èΣè{ 2(n+m)(n+m-1)a┬ + (n+m-1)a┬▀¬ - (n+m)a┬ + a┬ }xⁿó¡
  262.     èn=1
  263.  
  264.     The ïdicial equation is
  265.  
  266.         2m(m-1) - m+ 1è=è0
  267.  
  268.         2mì - 2m - m + 1 = 0
  269.  
  270.         2mì - 3m + 1 = 0
  271.  
  272.     This facërs ë
  273.     
  274.         (2m - 1)(m - 1) = 0
  275.  
  276.     The solutions are 
  277.  
  278.         m =è1/2,è1
  279.  
  280.     As l å g are solutions ç ê ïdical equation, ê first
  281.     term ç ê solution will be zero, so for m = l or g this 
  282.     reduces ë
  283.      ▄
  284.      Σ { 2(n+m)(n+m-1)a┬ + (n+m-1)a┬▀¬ - (n+m)a┬ + a┬ }xⁿó¡è=è0
  285.     n=1
  286.  
  287.     For this sum ë be zero, it is sufficient that every term ï
  288.     ê brace be zero.èSettïg each ë zero produces ê
  289.     RECURSION RELATION which for this example will be
  290.  
  291.     èè 2(n+m)(n+m-1)a┬ + (n+m-1)a┬▀¬ - (n+m)a┬ + a┬è=è0
  292.  
  293.     As ê roots for m are distïct å do not differ by an 
  294.     ïteger, subsitutïg l å ên g ïë ê recursion relation
  295.     will produce two LINEARLY INDPENDENT power series solutions
  296.  
  297.     èèFirst, let m =1/2 å substitute ïë ê recursion 
  298.     relation
  299.  
  300.     èè2(n+1/2)(n-1/2)a┬ + (n-1/2)a┬▀¬ - (n+1/2)a┬ + a┬ = 0
  301.  
  302.     Multiplyïg through by 2 ë get rid ç ê fractions gives
  303.  
  304.     (2n+1)(2n-1)a┬ + (2n-1)a┬▀¬ - (2n-1)a┬ + 2a┬ = 0
  305.  
  306.     Combïïg like terms å rearrangïg yields
  307.  
  308.     [ (2n+1)(2n-1) - (2n-1) + 2 ] a┬è=è- (2n-1)a┬▀¬
  309.  
  310.     orèèèèèèèèèèè (2n-1)
  311.     èèèa┬ =è- ────────────────────────────èa┬▀¬è n ≥ 1
  312.     èèèèèèè (2n+1)(2n-1) - (2n-1) + 2n
  313.  
  314.     The first few terms are
  315.          nèèèèè a┬
  316.         ───èèèè ────
  317.          1èèè a¬ = -(1)/[3(1)-1+2] a╠ = -1/4 a╠
  318.  
  319.          2èèè a½ = -(3)/[5(3)-3+2] a¬ = -3/14 a¬ = 3/56 a╠
  320.  
  321.     è Now let m = 1, substitutïg ïë ê recusion relation gives
  322.  
  323.     è2(n+m)(n+m-1)a┬ + (n+m-1)a┬▀¬ - (n+m)a┬ + a┬è=è0
  324.  
  325.     orè 2(n+1)na┬ + na┬▀¬ - (n+1)an + a┬ = 0
  326.  
  327.     Combïïg like terms å rearrangïg yields
  328.  
  329.     èè[ 2n(n+1) - n ]a┬è=è-na┬▀¬
  330.  
  331.     èè[ n(2n+1) ]a┬è=è-na┬▀¬
  332.  
  333.     orèèèèèèèè nèèèèèèèèè 1
  334.     èèèa┬è=è- ───────── a┬▀¬è=è- ────── a┬▀¬èè n ≥ 1
  335.     èèèèèèèèn(2n+1)èèèèèèè2n+1
  336.  
  337.     The first few terms are
  338.          nèèèèè a┬
  339.         ───èèèè ────
  340.          1èèè a¬ = -1/[2(1)+1] a╠ = -1/3 a╠
  341.  
  342.          2èèè a½ = -1/[2(2)+1] a¬ = -1/5 a¬ = 1/15 a╠
  343.  
  344.     Thus ê general solution is
  345.  
  346.     èC¬ xî»ì [ 1 - 1/4 xè+è3/56 xìè- ∙∙∙ ]
  347.  
  348.     + C½ x [ 1 - 1/3 xè+ 1/15 xì - ∙∙∙ ]
  349.  
  350.     CASE IIèReal roots that eiêr are repeated ç differ by an
  351.     ïteger.èThis case corresponds ë ê repeated roots case 
  352.     ç ê EULER differential equation.èIn particular, one series
  353.     solution, correspondïg ë ê LARGER root (if different) will
  354.     be found.èThe oêr solution will contaï a facër ïvolvïg
  355.     ê NATURAL LOGARITHM function ë make it LINEARLY INDEPENDENT.
  356.     Its specific form can be found usïg Reduction ï Order, 
  357.     Section 4.2 or by methods not covered ï this program.
  358.  
  359.     CASE IIIèComplex conjugate roots.èHere ê roots do not 
  360.     differ by an ïteger as êy are complex conjugates ç each
  361.     oêr so êre will be two power series solutions.èHowever,
  362.     sïce ê exponents are complex, a technique similar ë ê
  363.     one used ï ê similar Euler differential equation must be
  364.     employed å ên ê Euler formula is used ë convert an
  365.     imagïary exponential ë equivalent trig functions.èAs ï
  366.     ê Euler differential equation case, natural logarithmic 
  367.     functions will be produced.
  368.  
  369.  5    2xìy»» + xy» + (x-1)y = 0èabout x = 0
  370.  
  371.     A)è C¬xúî»ì[1 + xè+ 1/2 xì] + C½x[1 + 1/6 xè+ 1/90 xì]
  372.     B)è C¬xúî»ì[1 + xè+ 1/2 xì] + C½x[1 - 1/6 xè+ 1/90 xì]
  373.     C)è C¬xúî»ì[1 + xè- 1/2 xì] + C½x[1 + 1/6 xè+ 1/90 xì]
  374.     D)è C¬xúî»ì[1 + xè- 1/2 xì] + C½x[1 - 1/6 xè+ 1/90 xì]
  375.  
  376. ü    è Assume a solution ç ê form
  377.     èèèèèèèè ▄èèèèèè▄
  378.         y =èx¡èΣèa┬xⁿè =èΣèa┬xⁿó¡
  379.         èèèèn=0èèèèèn=0
  380.  
  381.     where m can be an arbitrary real number, not just an ïteger.
  382.  
  383.     èèDifferentiation yields
  384.         èèè▄
  385.         y» =èΣè(n+m)a┬xⁿó¡úî
  386.         èè n=0
  387.  
  388.         èèè ▄
  389.         y»» =èΣè(n+m)(n+m-1)a┬xⁿó¡úì
  390.         èèèn=0
  391.  
  392.     Substitute ïëèè2xìy»» + xy» + (x-1)y = 0èë yield
  393.  
  394.     èèèè ▄èèèèèèèèèèèèèè ▄
  395.     èè2xìèΣè(n+m)(n+m-1)a┬xⁿó¡úìè+ xèΣ (n+m)a┬xⁿó¡úî
  396.     èèèèn=0èèèèèèèèèèèèè n=0
  397.     èèèèèèèè ▄
  398.     èèèè+ (x-1)èΣèa┬xⁿó¡è=è0
  399.     èèèèèèèèn=0
  400.  
  401.     orè ▄èèèèèèèèèèèèè▄
  402.     èè Σè2(n+m)(n+m-1)a┬xⁿó¡è+èΣè(n+m)a┬xⁿó¡ +
  403.     èèn=0èèèèèèèèèèèèn=0
  404.     èèèè ▄èèèèèèèèè▄
  405.     èèèèΣèa┬xⁿó¡óîè-èΣèa┬xⁿó¡è=è0
  406.     èèèèn=0èèèèèèèèn=0
  407.  
  408.     As ê third sum's exponent is different from ê rest, it
  409.     will be re-ïdexed so that all exponents are ê same.
  410.  
  411.     èè ▄èèèèèèèèèèèèè▄
  412.     èè Σè2(n+m)(n+m-1)a┬xⁿó¡è+èΣè(n+m)a┬xⁿó¡
  413.     èèn=0èèèèèèèèèèèèn=0
  414.     èèèè ▄èèèèèèè ▄
  415.     èèè+èΣèa┬▀¬xⁿó¡è-èΣèa┬xⁿó¡è=è0
  416.     èèèèn=0èèèèèè n=0
  417.  
  418.     As ê second sum starts at n = 1 while ê oêrs start at
  419.     n = 0, ê first term will be isolated å ê remaïïg 
  420.     terms combïed ïë one sum
  421.  
  422.      0è=è[ 2m(m-1) + m - 1 ] a╠x¡
  423.     è ▄
  424.     +èΣè{ 2(n+m)(n+m-1)a┬ + (n+m)a┬ + a┬▀¬ - a┬ }xⁿó¡
  425.     èn=1
  426.  
  427.     è For differential equation ë have a non-trivial solution,
  428.     ê coefficient ç a╠x¡ must be zero.èSettïg it ë zero
  429.     yields ê INDICIAL EQUATION
  430.  
  431.         2m(m-1) + m - 1è=è0
  432.  
  433.     orèèè2mì - m - 1è=è0
  434.  
  435.     This facërs ë
  436.         
  437.         (2m + 1)(m - 1) = 0
  438.  
  439.     The solutions are
  440.  
  441.         m = -1/2, 1
  442.  
  443.     
  444.     èèIf eiêr ç êse two solutions ç ê ïdical equation,
  445.     are subsituted ïë ê assumed solution, ê first term ç
  446.     ê solution will be zero, so for m = -1/2 or 1 this 
  447.     reduces ë
  448.      ▄
  449.      Σ { 2(n+m)(n+m-1)a┬ + (n+m)a┬ + a┬▀¬ - a┬ }xⁿó¡è=è0
  450.     n=1
  451.  
  452.     For this sum ë be zero, it is sufficient that every term ï
  453.     ê braces is zero.èSettïg each ë zero produces ê
  454.     RECURSION RELATION which for this example will be
  455.  
  456.     èè 2(n+m)(n+m-1)a┬ + (n+m)a┬ + a┬▀¬ - a┬è=è0
  457.  
  458.     As ê roots for m are distïct å do not differ by an 
  459.     ïteger, subsitutïg -1/2 å ên 1 ïë ê recursion relation
  460.     will produce two LINEARLY INDPENDENT power series solutions.
  461.  
  462.     èèFirst, let m = -1/2 å substitute ïë ê recursion 
  463.     relation
  464.  
  465.     èè2(n-1/2)(n-3/2)a┬ + (n-1/2)a┬ + a┬▀¬ - a┬ = 0
  466.  
  467.     Multiplyïg through by 2 ë get rid ç ê fractions gives
  468.  
  469.     èè(2n-1)(2n-3)a┬ + (2n-1)a┬▀¬ + 2a┬ - 2a┬ = 0
  470.  
  471.     Combïïg like terms å rearrangïg yields
  472.  
  473.     èè[ (2n-1)(2n-3) + (2n-1) - 2 ] a┬è=è- 2a┬▀¬
  474.  
  475.     orèèèèèèèèèèè 2
  476.     èèèa┬ =è- ───────────────────────èa┬▀¬è n ≥ 1
  477.     èèèèèèè (2n-1)(2n-3)+(2n-1)-2
  478.  
  479.     The first few terms are
  480.          nèèèèè a┬
  481.         ───èèèè ────
  482.          1èèè a¬ = -2/[1(-1)+1-2] a╠ =èa╠
  483.  
  484.          2èèè a½ = -2/[3(1)+3-2] a¬ = -1/2 a¬ = -1/2 a╠
  485.  
  486.     è Now let m = 1, substitutïg ïë ê recusion relation gives
  487.  
  488.     èèè2(n+m)(n+m-1)a┬ + (n+m)a┬ + a┬▀¬ - a┬è=è0
  489.  
  490.     orèè2(n+1)na┬ + (n+1)a┬ + a┬▀¬ - a┬ = 0
  491.  
  492.     Combïïg like terms å rearrangïg yields
  493.  
  494.     èè[ 2n(n+1) + n+1 - 1 ]a┬è=è-a┬▀¬
  495.  
  496.     èè[ n(2n+1) + n ]a┬è=è-a┬▀¬
  497.  
  498.     èè[ (2n+1)(n+1) ]a┬è=è-a┬▀¬
  499.  
  500.     Rearrangïg
  501.     èèèèèèèèèè 1èèèèèè
  502.     èèèa┬è=è- ───────────── a┬▀¬èèèn ≥ 1
  503.     èèèèèèèè(2n+1)(n+1)èèè 
  504.  
  505.     The first few terms are
  506.          nèèèèè a┬
  507.         ───èèèè ────
  508.          1èèè a¬ = -1/[3(2)] a╠ = -1/6 a╠
  509.  
  510.          2èèè a½ = -1/[5(3)] a¬ = -1/15 a¬ = 1/90 a╠
  511.  
  512.     Thus ê general solution is
  513.  
  514.     èC¬ xúî»ì [ 1 + xè- 1/2 xìè- ∙∙∙ ]
  515.  
  516.     + C½ x [ 1 - 1/6 xè+ 1/90 xì - ∙∙∙ ]
  517.  
  518. Ç D
  519.  
  520.  6è    3xìy»» + xy» + xyè=è0èabout x = 0
  521.  
  522.     A)è C¬[1 + x + 1/8xì ] + C½x[1 + 1/5 xè+ 1/80 xì]
  523.     B)è C¬[1 + x + 1/8xì ] + C½x[1 - 1/5 xè+ 1/80 xì]
  524.     C)è C¬[1 - x + 1/8xì ] + C½x[1 + 1/5 xè+ 1/80 xì]
  525.     D)è C¬[1 - x + 1/8xì ] + C½x[1 - 1/5 xè+ 1/80 xì]
  526.  
  527. ü    è Assume a solution ç ê form
  528. èèèèèèèèèèèè ∞èèè
  529.     èèèèy =èx¡èΣèa┬xⁿè =èΣèa┬xⁿó¡
  530.         èèèèn=0èèèèèn=0
  531.  
  532.     where m can be an arbitrary real number, not just an ïteger.
  533.  
  534.     èèDifferentiation yields
  535.         èèè▄
  536.         y» =èΣè(n+m)a┬xⁿó¡úî
  537.         èè n=0
  538.  
  539.         èèè ▄
  540.         y»» =èΣè(n+m)(n+m-1)a┬xⁿó¡úì
  541.         èèèn=0
  542.  
  543.     Substitute ïëè3xìy»» + xy» + xyè=è0èë yield
  544.  
  545.     èèèè ▄èèèèèèèèèèèèèè ▄
  546.     èè3xìèΣè(n+m)(n+m-1)a┬xⁿó¡úìè+ xèΣ (n+m)a┬xⁿó¡úî
  547.     èèèèn=0èèèèèèèèèèèèè n=0
  548.     èèèèèè▄
  549.     èèèè+ x Σèa┬xⁿó¡è=è0
  550.     èèèèè n=0
  551.     
  552.     As ê third sum's exponent is different from ê rest, it
  553.     will be re-ïdexed so that all exponents are ê same.
  554.  
  555.     orè ▄èèèèèèèèèèèèè▄
  556.     èè Σè3(n+m)(n+m-1)a┬xⁿó¡è+èΣè(n+m)a┬xⁿó¡ 
  557.     èèn=0èèèèèèèèèèèèn=0
  558.     èèèè ▄èèèèèèèèè
  559.     èèè+èΣèa┬xⁿó¡óîè =è0
  560.     èèèèn=0
  561.  
  562.     As ê third sum's exponent is different from ê rest, it
  563.     will be re-ïdexed so that all exponents are ê same.
  564.  
  565.     èè ▄èèèèèèèèèèèèè▄
  566.     èè Σè3(n+m)(n+m-1)a┬xⁿó¡è+èΣè(n+m)a┬xⁿó¡ 
  567.     èèn=0èèèèèèèèèèèèn=0
  568.     èèèè ▄èèèèèèèèè
  569.     èèè+èΣèa┬▀¬xⁿó¡è =è0
  570.     èèèèn=1
  571.  
  572.     As ê third sum starts at n = 1 while ê oêrs start at
  573.     n = 0, ê first term will be isolated å ê remaïïg t
  574.     erms combïed ïë one sum
  575.  
  576.      0è=è[ 3m(m-1) + m ] a╠x¡
  577.     è ▄
  578.     +èΣè{ 3(n+m)(n+m-1)a┬ + (n+m)a┬ + a┬▀¬ }xⁿó¡
  579.     èn=1
  580.  
  581.     è For differential equation ë have a non-trivial solution,
  582.     ê coefficient ç a╠x¡ must be zero.èSettïg it ë zero
  583.     yields ê INDICIAL EQUATION
  584.  
  585.         3m(m-1) + mè=è0
  586.  
  587.     orèèè3mì - 2mè=è0
  588.  
  589.     This facërs ë
  590.         
  591.         m(3m - 2) = 0
  592.  
  593.     The solutions are
  594.  
  595.         m = 0, 2/3
  596.  
  597.     èèIf eiêr ç êse two solutions ç ê ïdical equation,
  598.     are subsituted ïë ê assumed solution, ê first term ç
  599.     ê solution will be zero, so for m = 0 or 2/3 this 
  600.     reduces ë
  601.      ▄
  602.      Σ { 3(n+m)(n+m-1)a┬ + (n+m)a┬ + a┬▀¬ }xⁿó¡è=è0
  603.     n=1
  604.  
  605.     For this sum ë be zero, it is sufficient that every term ï
  606.     ê braces is zero.èSettïg each ë zero produces ê
  607.     RECURSION RELATION which for this example will be
  608.  
  609.     èè 3(n+m)(n+m-1)a┬ + (n+m)a┬ + a┬▀¬è=è0
  610.  
  611.     As ê roots for m are distïct å do not differ by an 
  612.     ïteger, subsitutïg 0 å ên 2/3 ïë ê recursion 
  613.     relation will produce two LINEARLY INDPENDENT power series 
  614.     solutions.
  615.  
  616.     èèFirst, let m = 0 å substitute ïë ê recursion 
  617.     relation
  618.  
  619.     èè3(n+m)(n+m-1)a┬ + (n+m)a┬ + a┬▀¬è=è0
  620.  
  621.     èèèè3n(n-1)a┬ + na┬ + a┬▀¬ = 0
  622.  
  623.     Combïïg like terms å rearrangïg yields
  624.  
  625.     èè[ 3n(n-1) + n ] a┬è=è- a┬▀¬
  626.  
  627.     orèèèèèèèè1
  628.     èèèa┬ =è- ─────────èa┬▀¬è n ≥ 1
  629.     èèèèèèè n(3n-2)
  630.  
  631.     The first few terms are
  632.          nèèèèè a┬
  633.         ───èèèè ────
  634.          1èèè a¬ = -1/[1(1)] a╠ =è-a╠
  635.  
  636.          2èèè a½ = -1/[2(4)] a¬ = -1/8 a¬ = 1/8 a╠
  637.  
  638.     è Now let m = 2/3, substitutïg ïë ê recusion relation 
  639.     gives
  640.  
  641.     èèè3(n+m)(n+m-1)a┬ + (n+m)a┬ + a┬▀¬è=è0
  642.  
  643.     orèè3(n+2/3)(m-1/3)a┬ + (n+2/3)a┬ + a┬▀¬è= 0
  644.  
  645.     Multiplyïg by 3 ë clear ê fractions gives
  646.  
  647.     èèè(3n+2)(3n-1)a┬ + (3n+2)a┬ + 3a┬▀¬è=è0
  648.  
  649.     Combïïg like terms å rearrangïg yields
  650.  
  651.     èè[ (3n+2)(3n-1) + (3n+2) ]a┬è=è- 3a┬▀¬
  652.  
  653.     èè[ 3n(3n+2) ]a┬è=è-3a┬▀¬
  654.  
  655.     Rearrangïg
  656.     èèèèèèèèè 1èèèèèè
  657.     èèèa┬è=è- ───────── a┬▀¬èèèn ≥ 1
  658.     èèèèèèèèn(3n+2)èèè 
  659.  
  660.     The first few terms are
  661.          nèèèèè a┬
  662.         ───èèèè ────
  663.          1èèè a¬ = -1/[1(5)] a╠ = -1/5 a╠
  664.  
  665.          2èèè a½ = -1/[2(8)] a¬ = -1/16 a¬ = 1/80 a╠
  666.  
  667.     Thus ê general solution is
  668.  
  669.     èC¬ [ 1 - xè+ 1/8 xìè- ∙∙∙ ]
  670.  
  671.     + C½ x [ 1 - 1/5 xè+ 1/80 xì - ∙∙∙ ]
  672.  
  673. Ç D
  674.  
  675.  7è     9xìy»» + 9xy» + (9x-4)yè=è0è about x = 0
  676.  
  677.     A)è C¬xúì»Ä[1 + 3x + 9/4xì] + C½xì»Ä[1 + 3/7x + 3/91 xì]
  678.     B)è C¬xúì»Ä[1 + 3x + 9/4xì] + C½xì»Ä[1 - 3/7x + 3/91 xì]
  679.     C)è C¬xúì»Ä[1 + 3x - 9/4xì] + C½xì»Ä[1 + 3/7x + 3/91 xì]
  680.     D)è C¬xúì»Ä[1 + 3x - 9/4xì] + C½xì»Ä[1 - 3/7x + 3/91 xì]
  681.  
  682. ü    è Assume a solution ç ê form
  683.     èèèèèèèè ▄èèèèèè▄
  684.         y =èx¡èΣèa┬xⁿè =èΣèa┬xⁿó¡
  685.         èèèèn=0èèèèèn=0
  686.  
  687.     where m can be an arbitrary real number, not just an ïteger.
  688.  
  689.     èèDifferentiation yields
  690.         èèè▄
  691.         y» =èΣè(n+m)a┬xⁿó¡úî
  692.         èè n=0
  693.  
  694.         èèè ▄
  695.         y»» =èΣè(n+m)(n+m-1)a┬xⁿó¡úì
  696.         èèèn=0
  697.  
  698.     Substitute ïëè9xìy»» + 9xy» + (9x-4)yè=è0èë yield
  699.  
  700.     èèèè ▄èèèèèèèèèèèèèèè▄
  701.     èè9xìèΣè(n+m)(n+m-1)a┬xⁿó¡úìè+ 9xèΣ (n+m)a┬xⁿó¡úî
  702.     èèèèn=0èèèèèèèèèèèèèèn=0
  703.     èèèèèèèè ▄
  704.     èèèè+ (9x-4) Σèa┬xⁿó¡è=è0
  705.     èèèèèèèèn=0
  706.  
  707.     orè ▄èèèèèèèèèèèèè▄
  708.     èè Σè9(n+m)(n+m-1)a┬xⁿó¡è+èΣ 9(n+m)a┬xⁿó¡ +
  709.     èèn=0èèèèèèèèèèèèn=0
  710.     èèèè ▄èèèèèèè▄
  711.     èèèèΣè9a┬xⁿó¡óî -èΣè4a┬xⁿó¡è =è0
  712.     èèèèn=0èèèèèèn=0
  713.  
  714.     As ê third sum's exponent is different from ê rest, it
  715.     will be re-ïdexed so that all exponents are ê same.
  716.  
  717.     èè ▄èèèèèèèèèèèèè▄
  718.     èè Σè9(n+m)(n+m-1)a┬xⁿó¡è+èΣè9(n+m)a┬xⁿó¡
  719.     èèn=0èèèèèèèèèèèèn=0
  720.     èèèè ▄èèèèèèèè▄
  721.     èèè+èΣè9a┬╪¬xⁿó¡è-èΣè4a┬xⁿó¡è=è0
  722.     èèèèn=1èèèèèèèn=0
  723.  
  724.     As ê third sum starts at n = 1 while ê oêrs start at
  725.     n = 0, ê first term will be isolated å ê remaïïg 
  726.     terms combïed ïë one sum
  727.  
  728.      0è=è[ 9m(m-1) + 9m - 4 ] a╠x¡
  729.     è ▄
  730.     +èΣè{ 9(n+m)(n+m-1)a┬ + 9(n+m)a┬ + 9a┬▀¬ - 4a┬ }xⁿó¡
  731.     èn=1
  732.  
  733.     è For differential equation ë have a non-trivial solution,
  734.     ê coefficient ç a╠x¡ must be zero.èSettïg it ë zero
  735.     yields ê INDICIAL EQUATION
  736.  
  737.         9m(m-1) + 9m - 4è=è0
  738.  
  739.     orèèè9mì - 4è=è0
  740.  
  741.     This facërs ë
  742.         
  743.         (3m + 2)(3m - 2) = 0
  744.  
  745.     The solutions are
  746.  
  747.         m = -2/3, 2/3
  748.  
  749.     èèIf eiêr ç êse two solutions ç ê ïdical equation,
  750.     are subsituted ïë ê assumed solution, ê first term ç
  751.     ê solution will be zero, so for m = -2/3 or 2/3 this 
  752.     reduces ë
  753.      ▄
  754.      Σ { 9(n+m)(n+m-1)a┬ + 9(n+m)a┬ + 9a┬▀¬ - 4a┬ }xⁿó¡è=è0
  755.     n=1
  756.  
  757.     For this sum ë be zero, it is sufficient that every term ï
  758.     ê braces is zero.èSettïg each ë zero produces ê
  759.     RECURSION RELATION which for this example will be
  760.  
  761.     èè 9(n+m)(n+m-1)a┬ + 9(n+m)a┬ + 9a┬▀¬ - 4a┬è=è0
  762.  
  763.     As ê roots for m are distïct å do not differ by an 
  764.     ïteger, subsitutïg -2/3 å ên 2/3 ïë ê recursion 
  765.     relation will produce two LINEARLY INDPENDENT power series 
  766.     solutions.
  767.  
  768.     èèFirst, let m = 2/3 å substitute ïë ê recursion 
  769.     relation
  770.  
  771.     èè 9(n+m)(n+m-1)a┬ + 9(n+m)a┬ + 9a┬▀¬ - 4a┬è=è0
  772.     
  773.     èè 9(n-2/3)(n-5/3)a┬ + 9(n-2/3)a┬ + 9a┬▀¬ - 4a┬ = 0 
  774. èè
  775.     èè (3n-2)(3n-5)a┬ + 3(3n-2)a┬ + 9a┬▀¬ - 4a┬è=è0
  776.  
  777.     Combïïg like terms å rearrangïg yields
  778.  
  779.     èè[ (3n-2)ì - 4 ] a┬è=è- 9a┬▀¬
  780.  
  781.     orèèèèèèèèè9
  782.     èèèa┬ =è- ───────────èa┬▀¬è n ≥ 1
  783.     èèèèèèè (3n-2)ì-4
  784.  
  785.     The first few terms are
  786.          nèèèèè a┬
  787.         ───èèèè ────
  788.          1èèè a¬ = -9/[1ì-4] a╠ =è3a╠
  789.  
  790.          2èèè a½ = -9/[4ì-4] a¬ = -3/4 a¬ = -9/4 a╠
  791.  
  792.     è Now let m = 2/3, substitutïg ïë ê recusion relation 
  793.     gives
  794.  
  795.     èèè9(n+m)(n+m-1)a┬ + 9(n+m)a┬ + 9a┬▀¬ - 4a┬è=è0
  796.  
  797.     orèè9(n+2/3)(n-1/3)a┬ + 9(n+2/3)a┬ + 9a┬▀¬ - 4a┬è= 0
  798.  
  799.     orèè(3n+2)(3n-1)a┬ + 3(3m+2)a┬ + 9a┬▀¬ -4a┬è= 0
  800.     
  801.     Combïïg like terms å rearrangïg yields
  802.  
  803.     èè[ (3n+2)(3n-1) + 3(3n+2) - 4 ]a┬è=è- 9a┬▀¬
  804.  
  805.     èè[ (3n+2)ì - 4 ]a┬è=è-9a┬▀¬
  806.  
  807.     Rearrangïg
  808.     èèèèèèèèè 9
  809.     èèèa┬è=è- ───────── a┬▀¬èèèn ≥ 1
  810.     èèèèèèè (3n+2)ì-4èèè 
  811.  
  812.     The first few terms are
  813.          nèèèèè a┬
  814.         ───èèèè ────
  815.          1èèè a¬ = -9/21 a╠ = -3/7 a╠
  816.  
  817.          2èèè a½ = -9/117 a¬ = -1/13 a¬ = 3/91 a╠
  818.  
  819.     Thus ê general solution is
  820.  
  821.     èC¬ xúì»Ä [ 1 + 3xè- 9/4 xìè- ∙∙∙ ]
  822.  
  823.     + C½ xì»Ä [ 1 - 3/7 xè+ 3/91 xì - ∙∙∙ ]
  824.  
  825. Ç D
  826.  
  827.  8    xìy»» + (xì-3x)y» + 2xyè=è0
  828.  
  829.     A)è C¬ xÄ [ 1 + 5/9 xè+ 10/51 xìè- ∙∙∙ ]
  830.     B)è C¬ xÄ [ 1 + 5/9 xè- 10/51 xìè- ∙∙∙ ]
  831.     C)è C¬ xÄ [ 1 - 5/9 xè+ 10/51 xìè- ∙∙∙ ]
  832.     D)è C¬ xÄ [ 1 - 5/9 xè- 10/51 xìè- ∙∙∙ ]
  833.  
  834. ü    è Assume a solution ç ê form
  835.     èèèèèèèè ▄èèèèèè▄
  836.         y =èx¡èΣèa┬xⁿè =èΣèa┬xⁿó¡
  837.         èèèèn=0èèèèèn=0
  838.  
  839.     where m can be an arbitrary real number, not just an ïteger.
  840.  
  841.     èèDifferentiation yields
  842.         èèè▄
  843.         y» =èΣè(n+m)a┬xⁿó¡úî
  844.         èè n=0
  845.  
  846.         èèè ▄
  847.         y»» =èΣè(n+m)(n+m-1)a┬xⁿó¡úì
  848.         èèèn=0
  849.  
  850.     Substitute ïëèxìy»» + (xì-3x)y» + 2xyè=è0èë yield
  851.  
  852.     èèèè▄èèèèèèèèèèèèèèèèè ▄
  853.     èèxìèΣè(n+m)(n+m-1)a┬xⁿó¡úìè+ (xì-3x)èΣ (n+m)a┬xⁿó¡úî
  854.     èèèèn=0èèèèèèèèèèèèèèn=0
  855.     èèèèèèèè ▄
  856.     èèèè+ 2xy Σèa┬xⁿó¡è=è0
  857.     èèèèèèèèn=0
  858.  
  859.     orè ▄èèèèèèèèèèèè ▄
  860.     èè Σè(n+m)(n+m-1)a┬xⁿó¡è+èΣ (n+m)a┬xⁿó¡óî 
  861.     èèn=0èèèèèèèèèèè n=0
  862.     èèèè ▄èèèèèèè▄
  863.     èèè-èΣè3a┬xⁿó¡ +è Σè2a┬xⁿó¡óîè =è0
  864.     èèèèn=0èèèèèèn=0
  865.  
  866.     As ê second å fourth sum's exponent is different from ê 
  867.     rest, it will be re-ïdexed so that all exponents are ê 
  868.     same.
  869.  
  870.     èè ▄èèèèèèèèèèèè ▄
  871.     èè Σè(n+m)(n+m-1)a┬xⁿó¡è+èΣè(n+m-1)a┬▀¬xⁿó¡
  872.     èèn=0èèèèèèèèèèè n=1
  873.     èèèè ▄èèèèèèè▄
  874.     èèè-èΣè3a┬xⁿó¡è+èΣè2a┬▀¬xⁿó¡è=è0
  875.     èèèèn=0èèèèèèn=1
  876.  
  877.     As ê second å fourth sums starts at n = 1 while ê oêrs 
  878.     start at n = 0, ê first term will be isolated    å ê 
  879.     remaïïg terms combïed ïë one sum
  880.  
  881.      0è=è[ m(m-1) - 2m ] a╠x¡
  882.     è ▄
  883.     +èΣè{ (n+m)(n+m-1)a┬ + (n+m-1)a┬▀¬ - 3a┬ + 2a┬▀¬ }xⁿó¡
  884.     èn=1
  885.  
  886.     è For differential equation ë have a non-trivial solution,
  887.     ê coefficient ç a╠x¡ must be zero.èSettïg it ë zero
  888.     yields ê INDICIAL EQUATION
  889.  
  890.         m(m-1) - 2mè=è0
  891.  
  892.     orèèèmì - 3mè=è0
  893.  
  894.     This facërs ë
  895.         
  896.         m(m - 3) = 0
  897.  
  898.     The solutions are
  899.  
  900.         m = 0, 3
  901.  
  902.     èèIf eiêr ç êse two solutions ç ê ïdical equation,
  903.     are subsituted ïë ê assumed solution, ê first term ç
  904.     ê solution will be zero, so for m = 0 or 3 this 
  905.     reduces ë
  906.      ▄
  907.      Σ { (n+m)(n+m-1)a┬ + (n+m-1)a┬▀¬ - 3a┬ + 2a┬▀¬ }xⁿó¡è=è0
  908.     n=1
  909.  
  910.     For this sum ë be zero, it is sufficient that every term ï
  911.     ê braces is zero.èSettïg each ë zero produces ê
  912.     RECURSION RELATION which for this example will be
  913.  
  914.     èè (n+m)(n+m-1)a┬ + (n+m-1)a┬▀¬ - 3a┬ + 2a┬▀¬è=è0
  915.  
  916.     As ê roots for m are distïct å DIFFER BY AN INTEGER,
  917.     this technique will only one solution will be produced by
  918.     this technique.èIt will come from substitutïg ê larger
  919.     solution, m = 3, back ïë ê recursion relation which is
  920.  
  921.     èè (n+m)(n+m-1)a┬ + (n+m-1)a┬▀¬ - 3a┬ + 2a┬▀¬è=è0
  922.  
  923.     ë yield
  924.     
  925.     èè(n+3)(n+2)a┬ + (n+2)a┬▀¬ - 3a┬ + 2a┬▀¬è= 0
  926.  
  927.     Combïïg like terms å rearrangïg yields
  928.  
  929.     èè[ (n+3)(n+2) - 3 ]a┬è=è- [ (n+2) + 2 ] a┬▀¬
  930.  
  931.     Rearrangïg
  932.     èèèèèèèèèèn+4
  933.     èèèa┬è=è- ───────────── a┬▀¬èèèn ≥ 1
  934.     èèèèèèè (n+3)(n+2)-3èèè 
  935.  
  936.     The first few terms are
  937.          nèèèèè a┬
  938.         ───èèèè ────
  939.          1èèè a¬ = -5/[4(3)-3] a╠ = -5/9 a╠
  940.  
  941.          2èèè a½ = -6/[5(4)-3] a¬ = -6/17 a¬ = 10/51 a╠
  942.  
  943.     Thus one solution is
  944.  
  945.     èC¬ xÄ [ 1 - 5/9 xè+ 10/51 xìè- ∙∙∙ ]
  946.  
  947. Ç B
  948.  9    4xìy»» + 4xy» + (3x-1)yè=è0
  949.  
  950.     A)èèC¬ xî»ì [ 1 + 3/4 xè+ 9/80 xìè- ∙∙∙ ]
  951.     B)èèC¬ xî»ì [ 1 + 3/4 xè- 9/80 xìè- ∙∙∙ ]
  952.     C)èèC¬ xî»ì [ 1 - 3/4 xè+ 9/80 xìè- ∙∙∙ ]
  953.     D)èèC¬ xî»ì [ 1 - 3/4 xè- 9/80 xìè- ∙∙∙ ]
  954.  
  955.  
  956. ü    è Assume a solution ç ê form
  957.     èèèèèèèè ▄èèèèèè▄
  958.         y =èx¡èΣèa┬xⁿè =èΣèa┬xⁿó¡
  959.         èèèèn=0èèèèèn=0
  960.  
  961.     where m can be an arbitrary real number, not just an ïteger.
  962.  
  963.     èèDifferentiation yields
  964.         èèè▄
  965.         y» =èΣè(n+m)a┬xⁿó¡úî
  966.         èè n=0
  967.  
  968.         èèè ▄
  969.         y»» =èΣè(n+m)(n+m-1)a┬xⁿó¡úì
  970.         èèèn=0
  971.  
  972.     Substitute ïëè4xìy»» + 4xy» + (3x-1)yè=è0èë yield
  973.  
  974.     èèèè ▄èèèèèèèèèèèèèèè▄
  975.     èè4xìèΣè(n+m)(n+m-1)a┬xⁿó¡úìè+ 4xèΣ (n+m)a┬xⁿó¡úî
  976.     èèèèn=0èèèèèèèèèèèèèèn=0
  977.     èèèèèèèè ▄
  978.     èèèè+ (3x-1) Σèa┬xⁿó¡è=è0
  979.     èèèèèèèèn=0
  980.  
  981.     orè ▄èèèèèèèèèèèèè▄
  982.     èè Σè4(n+m)(n+m-1)a┬xⁿó¡è+èΣ 4(n+m)a┬xⁿó¡
  983.     èèn=0èèèèèèèèèèèèn=0
  984.     èèèè ▄èèèèèèèè▄
  985.     èèè+èΣè3a┬xⁿó¡óî -è Σèa┬xⁿó¡è =è0
  986.     èèèèn=0èèèèèèèn=0
  987.  
  988.     As ê third sum's exponent is different from ê rest, it 
  989.     will be re-ïdexed so that all exponents are ê same.
  990.  
  991.     èè ▄èèèèèèèèèèèèè▄
  992.     èè Σè4(n+m)(n+m-1)a┬xⁿó¡è+èΣè4(n+m-1)a┬▀¬xⁿó¡
  993.     èèn=0èèèèèèèèèèèèn=0
  994.     èèèè ▄èèèèèèèèè▄
  995.     èèè+èΣè3a┬▀¬xⁿó¡óîè-èΣèa┬xⁿó¡è=è0
  996.     èèèèn=1èèèèèèèèn=0
  997.  
  998.     As ê third sum starts at n = 1 while ê oêrs start at 
  999.     n = 0, ê first term will be isolated    å ê remaïïg 
  1000.     terms combïed ïë one sum.
  1001.  
  1002.      0è=è[ 4m(m-1) + 4m - 1 ] a╠x¡
  1003.     è ▄
  1004.     +èΣè{ 4(n+m)(n+m-1)a┬ + 4(n+m-1)a┬ + 3a┬▀¬ - a┬ }xⁿó¡
  1005.     èn=1
  1006.  
  1007.     è For differential equation ë have a non-trivial solution,
  1008.     ê coefficient ç a╠x¡ must be zero.èSettïg it ë zero
  1009.     yields ê INDICIAL EQUATION
  1010.  
  1011.         4m(m-1) + 4m - 1è=è0
  1012.  
  1013.     orèèè4mì - 1è=è0
  1014.  
  1015.     This facërs ë
  1016.         
  1017.         (2m - 1)(2m + 1) = 0
  1018.  
  1019.     The solutions are
  1020.  
  1021.         m = -1/2, 1/2
  1022.  
  1023.     èèIf eiêr ç êse two solutions ç ê ïdical equation,
  1024.     are subsituted ïë ê assumed solution, ê first term ç
  1025.     ê solution will be zero, so for m = 0 or 3 this 
  1026.     reduces ë
  1027.      ▄
  1028.      Σ {è4(n+m)(n+m-1)a┬ + 4(n+m-1)a┬ + 3a┬▀¬ - a┬ }xⁿó¡è=è0
  1029.     n=1
  1030.  
  1031.     For this sum ë be zero, it is sufficient that every term ï
  1032.     ê braces is zero.èSettïg each ë zero produces ê
  1033.     RECURSION RELATION which for this example will be
  1034.  
  1035.     èèè4(n+m)(n+m-1)a┬ + 4(n+m-1)a┬ + 3a┬▀¬ - a┬è=è0
  1036.  
  1037.     As ê roots for m are distïct å DIFFER BY AN INTEGER,
  1038.     this technique will only one solution will be produced by
  1039.     this technique.èIt will come from substitutïg ê larger
  1040.     solution, m = 1/2, back ïë ê recursion relation which is
  1041.  
  1042.     èè 4(n+m)(n+m-1)a┬ + 4(n+m-1)a┬ + 3a┬▀¬ - a┬è=è0
  1043.  
  1044.     ë yield
  1045.     
  1046.     èè4(n+1/2)(n-1/2)a┬ + 4(n-1/2)a┬ + 3a┬▀¬ - a┬è= 0
  1047.  
  1048.     orèè(2n+1)(2n-1)a┬ + 2(2n-1) + 3a┬▀¬ - a┬è=è0
  1049.  
  1050.     Combïïg like terms å rearrangïg yields
  1051.  
  1052.     èè[ (2n+1)(2n-1) + 2(2n-1) - 1 ]a┬è=è- 3 a┬▀¬
  1053.  
  1054.     Rearrangïg
  1055.     èèèèèèèèèèè3
  1056.     èèèa┬è=è- ────────────── a┬▀¬èèèn ≥ 1
  1057.     èèèèèèè (2n+3)(2n-1)-1èèè 
  1058.  
  1059.     The first few terms are
  1060.          nèèèèè a┬
  1061.         ───èèèè ────
  1062.          1èèè a¬ = -3/[5(1)-1] a╠ = -3/4 a╠
  1063.  
  1064.          2èèè a½ = -3/[7(3)-1] a¬ = -3/20 a¬ = 9/80 a╠
  1065.  
  1066.     Thus one solution is
  1067.  
  1068.     èC¬ xî»ì [ 1 - 3/4 xè+ 9/80 xìè- ∙∙∙ ]
  1069.  
  1070. Ç B
  1071.  
  1072.  10    xìy»» - 3xy» + (4-x)yè=è0
  1073.  
  1074.     A)è C¬ xì [ 1 + 1/4 xè+ 1/36 xìè+ ∙∙∙ ]
  1075.     B)è C¬ xì [ 1 + 1/4 xè- 1/36 xìè+ ∙∙∙ ]
  1076.     C)è C¬ xì [ 1 - 1/4 xè+ 1/36 xìè+ ∙∙∙ ]
  1077.     D)è C¬ xì [ 1 - 1/4 xè- 1/36 xìè+ ∙∙∙ ]
  1078.  
  1079. ü       è Assume a solution ç ê form
  1080.     èèèèèèèè ▄èèèèèè▄
  1081.         y =èx¡èΣèa┬xⁿè =èΣèa┬xⁿó¡
  1082.         èèèèn=0èèèèèn=0
  1083.  
  1084.     where m can be an arbitrary real number, not just an ïteger.
  1085.  
  1086.     èèDifferentiation yields
  1087.         èèè▄
  1088.         y» =èΣè(n+m)a┬xⁿó¡úî
  1089.         èè n=0
  1090.  
  1091.         èèè ▄
  1092.         y»» =èΣè(n+m)(n+m-1)a┬xⁿó¡úì
  1093.         èèèn=0è
  1094.  
  1095.     Substitutïgèxìy»» - 3xy» + (4-x)yè=è0èyields
  1096.  
  1097.     èèèè▄èèèèèèèèèèèèèèè▄
  1098.     èèxìèΣè(n+m)(n+m-1)a┬xⁿó¡úìè+ 5xèΣ (n+m)a┬xⁿó¡úî
  1099.     èèè n=0èèèèèèèèèèèèèèn=0
  1100.     èèèèèèèè ▄
  1101.     èèèè+ (4-x) Σèa┬xⁿó¡è=è0
  1102.     èèèèèèèèn=0
  1103.  
  1104.     orè ▄èèèèèèèèèèèè ▄
  1105.     èè Σè(n+m)(n+m-1)a┬xⁿó¡è-èΣ 3(n+m)a┬xⁿó¡
  1106.     èèn=0èèèèèèèèèèè n=0
  1107.     èèèè ▄èèèèèèèè▄
  1108.     èèè+èΣè4a┬xⁿó¡ -è Σèa┬xⁿó¡óîè =è0
  1109.     èèèèn=0èèèèèèèn=0
  1110.  
  1111.     As ê fourth sum's exponent is different from ê rest, it 
  1112.     will be re-ïdexed so that all exponents are ê same.
  1113.  
  1114.     èè ▄èèèèèèèèèèèè ▄
  1115.     èè Σè(n+m)(n+m-1)a┬xⁿó¡è-èΣè3(n+m-1)a┬▀¬xⁿó¡
  1116.     èèn=0èèèèèèèèèèè n=0
  1117.     èèèè ▄èèèèèèè▄
  1118.     èèè+èΣè4a┬xⁿó¡è-èΣèa┬▀¬xⁿó¡óîè=è0
  1119.     èèèèn=0èèèèèèn=1
  1120.  
  1121.     As ê fourth sum starts at n = 1 while ê oêrs start at 
  1122.     n = 0, ê first term will be isolated    å ê remaïïg 
  1123.     terms combïed ïë one sum.
  1124.  
  1125.      0è=è[ m(m-1) - 3m + 4 ] a╠x¡
  1126.     è ▄
  1127.     +èΣè{ (n+m)(n+m-1)a┬ - 3(n+m-1)a┬ + 4a┬ - a┬▀¬ }xⁿó¡
  1128.     èn=1
  1129.  
  1130.     è For differential equation ë have a non-trivial solution,
  1131.     ê coefficient ç a╠x¡ must be zero.èSettïg it ë zero
  1132.     yields ê INDICIAL EQUATION
  1133.  
  1134.         m(m-1) - 3m + 4è=è0
  1135.  
  1136.     orèèèmì - 4m + 4è=è0
  1137.  
  1138.     This facërs ë
  1139.         
  1140.         (m-2)ì = 0
  1141.  
  1142.     The solutions are
  1143.  
  1144.         m = 2, 2
  1145.  
  1146.     èèIf êse two solutions ç ê ïdical equation are
  1147.     subsituted ïë ê assumed solution, ê first term ç
  1148.     ê solution will be zero, so for m = 2 this reduces ë
  1149.  
  1150.      ▄
  1151.      Σ { (n+m)(n+m-1)a┬ - 3(n+m-1)a┬ + 4a┬ - a┬▀¬ }xⁿó¡è=è0
  1152.     n=1
  1153.  
  1154.     For this sum ë be zero, it is sufficient that every term ï
  1155.     ê braces is zero.èSettïg each ë zero produces ê
  1156.     RECURSION RELATION which for this example will be
  1157.  
  1158.     èèè(n+m)(n+m-1)a┬ - 3(n+m-1)a┬ + 4a┬ - a┬▀¬è=è0
  1159.  
  1160.     As ê roots for m are REPEATED, this technique will only one 
  1161.     solution will be produced by this technique.èIt will come 
  1162.     from substitutïg ê solution, m = 2, back ïë ê 
  1163.     recursion relation which is
  1164.  
  1165.     èè (n+m)(n+m-1)a┬ - 3(n+m-1)a┬ + 4a┬ - a┬▀¬è=è0
  1166.  
  1167.     ë yield
  1168.     
  1169.     èè(n+2)(n+3)a┬ - 3(n+3)a┬ + 4a┬ - a┬▀¬è= 0
  1170.  
  1171.     Combïïg like terms å rearrangïg yields
  1172.  
  1173.     èè[ (n+3)(n-1) + 4 ]a┬è=è a┬▀¬
  1174.  
  1175.     Rearrangïg
  1176.     èèèèèèèèèè1
  1177.     èèèa┬è=è────────────── a┬▀¬èèèn ≥ 1
  1178.     èèèèèèè(n+3)(n-1)+4èèè 
  1179.  
  1180.     The first few terms are
  1181.          nèèèèè a┬
  1182.         ───èèèè ────
  1183.          1èèè a¬ = 1/[4(0)+4] a╠ = 1/4 a╠
  1184.  
  1185.          2èèè a½ = 1/[5(1)+4] a¬ = 1/9 a¬ = 1/36 a╠
  1186.  
  1187.     Thus one solution is
  1188.  
  1189.     èC¬ xì [ 1 + 1/4 xè+ 1/36 xìè+ ∙∙∙ ]
  1190.  
  1191. Ç A
  1192.